【１】素因数分解の一意性とベイカー・スタークの定理

それでは，どういう負の数−ｄを使った整数環Ｚ（√−ｄ）で，素因数分解は一意となるのでしょうか？　この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体の部分集合となる整数環Ｚ（√−ｄ）

　　ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られるというものです．

ただし，最初の２つ以外ではーｄ＝１（ｍｏｄ４）なので，半整数ａ，ｂを使って，ａ＋ｂ√−ｄを作る必要があります．

｛ａ＋ｂ√−ｄ｜Ｚ，Ｚ＋１／２｝

すなわち，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

とすると，代数的整数の集合

　　Z（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂ，は整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．このZ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．

実は，複素整数に限らず，四元整数，八元整数でも成分がすべて整数だけでは不十分で，適当に半整数（整数＋１／２）も含める必要があります．　　｛ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ｜Ｚ，Ｚ＋１／２｝

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