自然数は素数が集まってできていますから数学において素数は重要な存在です．１０＝２・５＝５・２のように，整数の素因数分解は順序の違いを除けば１通りしかないというのが「算術の基本定理」ですが，たとえば，扱う数の範囲を整数から整数環

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

２１＝３・７＝（４＋√−５）（４−√−５）

ここで，２，３，７は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５，４＋√−５，４−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

(証)　ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2の場合は微妙だが，決定的な違いがある．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

が成り立つが，２，３，（１＋√−５），（１−√−５）は単数でないＺ（√−５）の元の積で表すことはできないのである．

２＝（ａ＋ｂ√−５）（ｃ＋ｄ√−５）

　　１＋√−５＝（ａ＋ｂ√−５）（ｃ＋ｄ√−５）

いずれの場合も両辺に共役複素数をかけると

　　４＝（ａ^2＋５ｂ^2）（ｃ^2＋５ｄ^2）

　　（ａ^2＋５ｂ^2，ｃ^2＋５ｄ^2）＝（２，２），（１，４），（４，１）

　すなわち，２＝αβで，α，βが単数でなければ，４＝Ｎ（２）＝Ｎ（α）Ｎ（β）から，Ｎ（α）＝Ｎ（β）＝２でなければならないが，

　　Ｎ（ａ＋ｂ√−５）＝ａ^2＋５ｂ^2＝２

となるａ，ｂは存在しない．３，（１−√−５）についても同様である．

このように，もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が２通り存在してしまう現象が起こります．物質は原子が集まってできているから物理学において原子は重要です．物質の世界において原子が分裂することは一大事ですが，数の世界においても素因数分解の一意性が成り立たず，素数が分裂することは一大事なのです．

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