■x^p+y^pの因数分解(その4)

pを奇素数、ζ=exp(2πi/p)とする。

x^p+y^p=(x+y)(x^(p-1)-x^(p-2)y+x^(p-3)y^2-・・・+y^(p-1))

=(x+y)(x+ζy)(x+ζ^2y)・・・(x+ζ^(p-1)y)

となるが、1次式の積まで分解しなくても

x^p+y^p=(x+y)(x^(p-1)-x^(p-2)y+x^(p-3)y^2-・・・+y^(p-1))

=(x+y)(A^2+pB^2)または=(x+y)(A^2-pB^2)

となる半整数係数(p-1)/2次同次多項式A,Bが存在する。

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x^3+y^3=(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-3)B)(A-√(-3)B)

x^5+y^5=(x+y)(A^2-5B^2)=(x+y)(A+√5B)(A-√5)B)

x^7+y^7=(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-7)B)(A-√(-7)B)

x^11+y^11=(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-11)B)(A-√(-11)B)

x^13+y^13=(x+y)(A^2-13B^2)=(x+y)(A+√13B)(A-√13)B)

x^17+y^17=(x+y)(A^2-17B^2)=(x+y)(A+√17B)(A-√17)B)

x^19+y^19=(x+y)(A^2+19B^2)=(x+y)(A+√(-19)B)(A-√(-19)B)

すなわち

p=4k+3型素数ならば(x+y)(A^2+pB^2)

p=4k+1型素数ならば(x+y)(A^2-pB^2)

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exp(2πi/13)のとき

F13(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)(x+ζ^11y)(x+ζ^12y)=(A+√13B)(A-√13B)となるように

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)(x+ζ^11y)(x+ζ^12y)を6個ずつの組に分けたい。

y^6の係数が1=ζ^39になるようにすればいいから

(x+ζy)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)(x+ζ^12y)=x^6+(ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^9+ζ^10+ζ^12)x^5y+2x^4y^2+(ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^9+ζ^10+ζ^12+1)+2x^2y^4+(ζ+ζ^3+ζ^4+ζ^9+ζ^10+ζ^12)xy^5+y^6

(x+ζ^2y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^11y)=x^6+(ζ^2+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^11)x^5y+2x^4y^2+(ζ^2+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^11+1)+2x^2y^4+(ζ^2+ζ^5+ζ^6+ζ^7+ζ^8+ζ^11)xy^5+y^6

(ζ+ζ^3+ζ^4ζ+ζ^9+ζ^10+ζ^12)=(-1+√(13))/2=(A+√(13)B)

(ζ^2+ζ^5+ζ^6ζ+ζ^7+ζ^8+ζ^11)=(-1-√(13))/2=(A-√(13)B)

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