pを奇素数、ζ＝exp(2πi/p)とする。

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（ｘ＋ζｙ）（ｘ＋ζ^2ｙ）・・・（ｘ＋ζ^(p-1)ｙ）

となるが、1次式の積まで分解しなくても

ｘ^p+ｙ^p＝（ｘ+ｙ）（ｘ^(p-1)-ｘ^(p-2)ｙ+ｘ^(p-3)ｙ^2-・・・+ｙ^(p-1)）

＝（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)または＝（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

となる半整数係数(p-1)/2次同次多項式A,Bが存在する。

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ｘ^3+ｙ^3＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-3)B)(A-√(-3)B)

ｘ^5+ｙ^5＝(x+y)(A^2-5B^2)=(x+y)(A+√5B)(A-√5)B)

ｘ^7+ｙ^7＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-7)B)(A-√(-7)B)

ｘ^11+ｙ^11＝(x+y)(A^2+3B^2)=(x+y)(A+√(-11)B)(A-√(-11)B)

ｘ^13+ｙ^13＝(x+y)(A^2-13B^2)=(x+y)(A+√13B)(A-√13)B)

ｘ^17+ｙ^17＝(x+y)(A^2-17B^2)=(x+y)(A+√17B)(A-√17)B)

ｘ^19+ｙ^19＝(x+y)(A^2+19B^2)=(x+y)(A+√(-19)B)(A-√(-19)B)

すなわち

ｐ＝4ｋ+3型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2+pB^2)

ｐ＝4ｋ+1型素数ならば（ｘ+ｙ）（A^2-pB^2)

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ζ=exp(2πi/7)のとき

F7(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)=(A+√(-7)B)(A-√(-7)B)となるように

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)を3個ずつの組に分けたい。

ｙ^3の係数が1＝ζ^7＝ζ^14になるようにすればいいから

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^4y)=x^3+(ζ+ζ^2+ζ^4)x^2y+(ζ^3+ζ^5+ζ^6)xy^2+y^3

(x+ζ^3y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)=x^3+(ζ^3+ζ^5+ζ^6)x^2y+(ζ+ζ^2+ζ^4)xy^2+y^3

(ζ+ζ^2+ζ^4)=(-1+√-7)/2=(A+√-7B)

(ζ^3+ζ^5+ζ^6)=(-1-√-7)/2=(A-√-7B)

である。

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exp(2πi/11)のとき

F11(x,y)=(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)=(A+√-11B)(A-√-11B)となるように

(x+ζy)(x+ζ^2y)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^9y)(x+ζ^10y)を5個ずつの組に分けたい。

ｙ^5の係数が1＝ζ^22＝ζ^33になるようにすればいいから

(x+ζy)(x+ζ^3y)(x+ζ^4y)(x+ζ^5y)(x+ζ^9y)=x^5+(ζ+ζ^3+ζ^4ζ+ζ^5+ζ^9)x^4y-x^3y^2-x^2y^3-(ζ+ζ^3+ζ^4ζ+ζ^5+ζ^9+1)+y^5

(x+ζ^2y)(x+ζ^6y)(x+ζ^7y)(x+ζ^8y)(x+ζ^10y)=x^5+(ζ^2+ζ^6+ζ^7ζ+ζ^8+ζ^10)x^4y-x^3y^2-x^2y^3-(ζ^2+ζ^6+ζ^7ζ+ζ^8+ζ^10+1)+y^5

(ζ+ζ^3+ζ^4ζ+ζ^5+ζ^9)=(-1+√(-11))/2=(A+√(-11)B)

(ζ^2+ζ^6+ζ^7ζ+ζ^8+ζ^10)=(-1-√(-11))/2=(A-√(-11)B)

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