■正多角形の高さ(その11)

m層目の鋭角の内角を求めてみると

[1]正三角形

180/3

[2]正方形

180/4

180/4→sin180/4・3に等しい

[3]正五角形

180/5

180/5・2

[4]正六角形

180/6

180/6・3

180/6→sin180/6・5に等しい

[5]正七角形

180/7

180/7・3

180/7・2

[6]正八角形

180/8

180/8・3

180/8・3→sin180/8・5に等しい

180/8→sin180/8・7に等しい

[7]正九角形

180/9

180/9・3

180/9・4

180/9・2

[8]正十角形

180/10

180/10・3

180/10・5

180/10・3→sin180/10・7に等しい

180/10→sin180/10・9に等しい

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正弦の和公式を調べてみると

r=1からnまでの2乗和は、

Σ(sinrx)^2=n/2-cos(n+1)xsin(nx)/2sinx

とある.

次は正弦の積公式

  Πsinkπ/n=sinπ/n・・・sin(n−1)π/n

          =n/2^(n-1)

 

n=3のとき、3/4 (OK)

n=4のとき、4/8 (OK)

n=6のとき、6/32 (OK)

  Πsin(θ+kπ/n) k=1-(n-1)

 =sin(θ+π/n)・・・sin(θ+(n−1)π/n)

 =sinnθ/2^(n-1)

 

 ここで,θ→θ−π/2nと置き換えれば

  Πsin(θ+(2k−1)π/2n)=cosnθ/2^(n-1) k=1-n

θ=0とおけば

  Πsin((2k−1)π/2n)=1/2^(n-1) k=1-n

 

また,θ=π/2とおけば

  Πcos(2k-1)π/2n=cos(nπ/2)/2^(n-1) k=1-n

などを導き出すことができる.

 

Π4(sinrx)^2を求めてみたい。

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nが奇数n=2m+1のとき、

  Πsinkπ/n=sinπ/n・・・sin(n−1)π/n

          =n/2^(n-1)

sinπ/n=sin(n−1)π/nより、これを4^m倍すればよい

Π4(sinrx)^2=n

調和平均はnの(n-1)/2乗根

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nが偶数n=2mのとき、k=1-m、

  Πsin((2k−1)π/2m)=1/2^(m-1)

  Πsin^2((2k−1)π/n)=1/2^2(m-1)=1/2^(n-2)

Π4(sinrx)^2=4^m/2^(n-2)=4

調和平均は4のn/2乗根

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