■正多角形の高さ(その9)

[2]正弦・余弦の和公式

 

 等差級数

  S=1+2+3+・・・+n

の値を求めるのに,逆順にして

  S=n+(n−1)+(n−2)+・・・+1

辺同士を加えると

  2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+・・・+(n+1)

より,

  S=n(n+1)/2

 

 これが等差級数の和公式で,これを使うと,たとえば1から100まで数の合計が5050であることが瞬時に計算できることはご存知であろう.

 

 この取り扱いと似た方法で,正弦の和公式

  sinα+sin2α+sin3α+・・・+sinnα

 =sinnα/2sin(n+1)α/2/sinα/2

を証明してみよう.

 

(証明)

  T=sinα+sin2α+sin3α+・・・+sinnα

  T=sinnα+sin(n−1)α+sin(n−2)α+・・・+sinα

 

 ここで,和から積への式

  sinα+sinβ=2sin(α+β)/2cos(α−β)/2

を用いると

  2T=2sin(n+1)α/2{cos(1−n)α/2+cos(3−n)α/2+・・・+cos(n−3)α/2+cos(n−1)α/2}

 

 両辺にsinα/2を掛けて,積から和への公式

  sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α−β)}

を用いると

  2Tsinα/2

=sin(n+1)α/2{sinnα/2+sin(1−n/2)α+・・・+sin(−1+n/2)α+sinnα/2}

=2sin(n+1)α/2sinnα/2

 同様に,余弦の和公式

  cosα+cos2α+cos3α+・・・+cosnα

 =sinnα/2cos(n+1)α/2/sinα/2

も証明できる.これらの式において,α=π/nとおくと

  Σsinkπ/n=cotπ/2n

  Σcoskπ/n=1

 

 さらに,

  sinα+sin3α+sin5α+・・・+sin(2n−1)α=sin^2nα/sinα

  cosα+cos3α+cos5α+・・・+cos(2n−1)α=sin2nα/2sinα

α=π/(2n+1)とおくと,

  Σcos(2k−1)π/(2n+1)=1/2

 

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