■ガンマ関数とボーア・モレルップの定理(その47)

 (その44)において,変形バラ曲線なるものを考えた.

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【1】変形バラ曲線

  ∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円(2次曲線),

  ∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート(4次曲線)に対応していますが,周長が

  ∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか?

 より一般に,「周長が

  ∫1/(1-x^n)^(1/2)dx

で表される曲線は

  r^(n/2)=cos(n/2・θ)

である.」

(証)

  {1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^n)^(1/2)

  rdθ/dr=(r^n/(1-r^n))^(1/2)

  dθ/dr=(r^n-2/(1-r^n))^(1/2)

  dr/dθ=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

 一方,

  r^(n/2)=cos(n/2θ)

  n/2・r^(n/2-1)dr/dθ=n/2・sin(n/2θ)

  r^(n/2-1)dr/dθ=sin(n/2θ)

  dr/dθ=sin(n/2θ)/r^(n/2-1)=((1-r^n)/r^n-2)^(1/2)

 この曲線はバラ曲線(正葉曲線)の変形版になっている.円(n=2)もレムニスケート(n=4)もこの曲線族に属する.n=1の場合,曲線

  r^(1/2)=cos(1/2・θ)

  r=cos^2(1/2・θ)=(1+cosθ)/2

はカージオイドとなる.

 なお,nが奇数とき4n次代数曲線,nが偶数のときn次代数曲線になることが示される.

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【2】バラ曲線とクローバー曲線

 極方程式

  r=a・sin(nθ)

はバラ曲線(あるいは正葉曲線:rhodonea curves)と呼ばれるもので,18世紀,グランディによって研究された.

 レムニスケートの極方程式は

  r^2=cos2θ

であるが,これを一般化した曲線

  r^n=cosnθ

はクローバー曲線(あるいは正弦らせん:sinusoidal spiral)という名前がある.

 チェビシェフ多項式を用いて,この曲線を表すと

  r^n=fn(cosθ)

であるから,

  r^2n=r^nfn(x/r)

が成立する.たとえば,n=3のとき,f3(t)=4t^3−3tであるから

  (x^2+y^2)^3=4x^3−3(x^2+y^2)x

となる.

 n=1/2のとき,カージオイドであるが,

  r^n=cos(nθ)

  n・r^(n-1)dr/dθ=−n・sin(nθ)

  r^(n-1)dr/dθ=−sin(nθ)

  dr/dθ=−sin(nθ)/r^(n-1)=((1-r^2n)/r^2n-2)^(1/2)

  dθ/dr=((r^2n-2)/(1-r^2n))^(1/2)

  rdθ/dr=(r^2n/(1-r^2n))^(1/2)

  {1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=(1/(1-r^2n)^(1/2)

となって,曲線等分問題を扱うには変形バラ曲線の方が相応しい.

  r^(n/2)=cos(n/2・θ)

は変形バラ曲線より変形クローバー曲線と呼んだ方が相応しい名前である.

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