■ガンマ関数とボーア・モレルップの定理(その33)

 レムニスケート弧長のn等分点を求めるには,sl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることになるのだが,sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって,よほど筆算が好きな計算マニアであっても,この計算は到底太刀打ちできないであろう.

 おそらくファニャーノもレムニスケート弧長の3等分あるいは5等分を与える代数方程式を導いただけで,解を示すことはできなかったと思われるのであるが,漸化式を用いるうまい方法がある.

 結論だけを示すと,3等分点は

  sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

で与えられる(→作図可能).

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【1】漸化式を用いたレムニスケートサインのn倍角公式

  sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

  sl(3u)=2sl(u){3-6sl^4(u)-sl^8(u)}/(1+6sl^4(u)-3sl^8(u)}

nが奇数のとき

  sl(nu)=sl(u)Pn(sl^4(u))/Qn(sl^4(u))

nが偶数のとき

  sl(nu)=sl(u)sl'(u)Pn(sl^4(u))/Qn(sl^4(u))

  sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

Qn(0)=1とおくことができる.

 ここで,

[1]nが偶数のとき,漸化式

Qn+1(x)=Qn-1(x){Qn^2(x)+x(1−x)Pn^2(x)}

Pn+1(x)=2(1−x)Pn(x)Qn(x)Qn-1(x)−Pn-1(x){Qn^2(x)+x(1−x)Pn^2(x)}

[2]nが奇数のとき,(1−x)が消え,漸化式

Qn+1(x)=Qn-1(x){Qn^2(x)+xPn^2(x)}

Pn+1(x)=2Pn(x)Qn(x)Qn-1(x)−Pn-1(x){Qn^2(x)+xPn^2(x)}

が成り立つ.

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