■iのiのi乗について(その17)

[Q]y=x^1/xを微分せよ

[A]y’=(1−logx)x^(1/x-2)

 シュタイナーの関数:y=x^1/xはx=eのとき最大値y=1.4446・・・をとる.これは等周問題(ディドーの問題)で知られる19世紀のスイス人数学者シュタイナーの出題した問題である.

===================================

【1】シュタイナー数

 シュタイナーの関数を

  f(x)=x^1/x=exp(logx/x)=exp(g(x))

とかけば,

  y’=(1−logx)x^(1/x-2)

 1階微分y’=0となるのはx=eのときだけで,2階微分y”を求めればx=eは最大値を与えることがわかる.

  y”=(−3+2logx)/x^3

  (−3+2loge)/e^3<0

 あるいは,数値計算によって

  f(1)=1

  f(2)=2^1/2>f(1)

  f(3)=3^1/3>f(2)

  f(4)=4^1/4=2^1/2=f(2)

より,

  f(1)<f(2)<f(3)>f(4)

f(x)は2と4の間にあるxに対して最大になる.そしてx=eのとき最大値y=1.4446647861・・・(シュタイナー数)を与えることがわかる.

 また,

  g(x)=logx/x

について

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際,

  e^π=23.14069・・・

  π^e=22.45915・・・

となるが,

  g(x)=logx/x

のグラフを描いてみればg(x)は幅のある最大値をもち,2つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである.

===================================

[Q]y=x^xを微分せよ

[A]y’=(logx+1)x^x

===================================