ケプラーの方程式は

　　exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)

　　exp(2x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)

　　exp(-2x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x-1)

に帰着される。

対数をとったとしても

x+log(x-1)=-x+log(x+1)

2x+log(x-1)/(x+1)=0

やはり、これ以上進めない。

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仕方がないので、

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+・・・

log(1-x)=-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4+・・・

log(1-x)/(1+x)=-2x-2x^3/3-2x^5/5-・・・

x→1/xとすると

log(1-x)/(1+x)=-2/x-2/3x^3-2/5x^5+・・・

2x+log(x-1)/(x+1)=0は

x-1/x-1/3x^3-1/5x^5-・・・＝0

→ｘ＝1.1996678640257734・・・

[1]x-1/x=0,x=1

[2]x-1/x-1/3x^3=0

3x^4-3x^2-1=0

x^2=(3+√21)/6、7/6＜x^2＜8/6

[3]x-1/x-1/3x^3-1/5x^5=0

15x^6-15x^4-5x^2-3=0、x^2は[2]より大きな値になるはず

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【１】テイラー級数

ベキ級数が重要でありまた面白いと思われる点は，三角関数，指数関数，対数関数など多くのよく知られた関数がベキ級数に展開されることにあります．たとえば，

　　ｅｘｐ（ｘ）＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−１／３！ｘ^3＋１／５！ｘ^5−・・・

　　ｓｉｎｈｘ＝ｘ＋１／３！ｘ^3＋１／５！ｘ^5＋・・・

　　ｃｏｓｘ＝１−１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4−・・・

　　ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋・・・

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・

など．

１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４　　（グレゴリー・ライプニッツ級数）

は

　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・

にｘ＝１を代入すると得られます．また，

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２　　（メルカトール級数）

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

にｘ＝１を代入すると得られます．この式は｜ｘ｜＜１でしか有効ではないので，もしこの式からｌｏｇ３を求めようとするならばまったく意味をなさないものになります．ｘ＝２を代入すると

　　２−２^2／２＋２^3／３−２^4／４＋・・・

　＝２−２＋８／３−４＋・・・　　（振動）

　そこで，ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）

が得られます．｜ｘ｜＜１でしか有効ではないのですが，このとき，（１＋ｘ）／（１−ｘ）はすべての正値を取ることができますから，たとえば，

　　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２　→　ｘ＝１／３

したがって，

　　ｌｏｇ２＝２（１／３＋１／３・３^3＋１／５・３^5＋１／７・３^7＋・・・）

　（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝３　→　ｘ＝１／２

　　ｌｏｇ３＝２（１／２＋１／３・２^3＋１／５・２^5＋１／７・２^7＋・・・）

一般に，（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝Ｎ　→　ｘ＝（Ｎ−１）／（Ｎ＋１）

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