その後、いろいろ調べてみた。

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　van der Waerdenの二進数バージョンが高木曲線である。

　　Ｆ（ｘ）＝Σ１／２^n・φ^n（ｘ）

ただし，φ^n（ｘ）はφ^2（ｘ）＝φ（φ（ｘ）），φ^3（ｘ）＝φ（φ（φ（ｘ））），・・・

　　φ（ｘ）＝２ｘ　　　　　　［０，１／２］

　　φ（ｘ）＝２（１−ｘ）　　［１／２，１］

高木曲線の発表のほうが、v.d.Waerdenよりはやい。v.d.Waerdernの証明のほうが、高木貞治より後なのである。二人は仲良しなので、Waerdenは高木貞治の結果を知っていたと思うが，・・・

　Weierstrassの曲線、van der Waerdenの曲線、高木曲線の描画をMathematicaで行ったので、ノートブック、cdfをおくる。なお、高木貞治の論文も見つけたので、添付しておく。

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