導関数を持たない連続関数はvan der Waerdenによって存在が示された．以下，数を１０進法表記することによる存在証明を掲げる．

　　［参］リース・ナジー「関数解析学」

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　xにもっとも近い整数を{x}で表す。

　　f(x)=Σ(0,∞){(10^n)x}/10^n・・・(1)

とする。それぞれの項は連続関数で、各項の絶対値が10^(-n)をこえないから、(1)の右辺は一様収束、従って連続。

　0<=x<1の各点で微分可能でないことを示せばよい。

　　x=0.a1 a2 a3 ・・・・

と表現する。xが有限小数の場合、無限小数でも表現できるが、この場合，前者を採用することにする。

x<=1/2のとき、

　　{10^n x} =0.a(n+1) a(n+2) a(n+3)

x>1/2のとき、

　　{10^n x} =１-0.a(n+1) a(n+2) a(n+3)

am が4または9のとき hm=-10^m，そうでないときhm=10^mとおくと

　　(f(x+hm)-(x))/hm・・・(2)

は

　　10^m Σ(0,∞) ±({10^n(x±(10^-m)})-{(10^n)x})/10^n

　この級数のそれぞれの項はn>=mで0，n<mのとき ±1であるから、(2)の値は整数。mが奇数、偶数であるかによって、符号が入れ替わるから(2)は m->∞のとき収束しない。

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【雑感】これと同様の証明は、二進法でできるだろうか？

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