■xexp(x)=1(その7)

√2^(√2^√2^√2^√2^√2^・・・)は2である

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関数f(x)=x^(x^x^x^x^x^・・・)を考える.

x^x^x^x^x^・・・=2のとき,無限個積み重なっているタワーからxを1個取り除いたところで,最終的な結果にはまったく影響がない.このことからこの方程式を

x^(x^x^x^x^x^・・・)=x^2=2

と書き変えることができて

  x=√2

 

実際に計算してみると

  √2=1.1414213562・・・

  √2^√2=1.632526919・・・

  √2^(√2^√2)=1.760893555・・・

  √2^(√2^√2^√2)=1.840910869・・・

  √2^(√2^√2^√2^√2)=1.892712696・・・

  √2^(√2^√2^√2^√2^√2)=1.926999701・・・

→2

x^x^x^x^x^・・・=mのとき,

x^(x^x^x^x^x^・・・)=x^m=m

と書き変えることができて

  x=m^1/m 

[補題]関数y=x^1/xを微分せよ.

logy=logx^1/x=(logx)/x

  ((logx)/x)’=(1−logx)/x^2

  y’=y(1−logx)/x^2=(1−logx+1)x^1/x-2

したがって,x=eのとき,最大値1.4446647861・・・をとる.

 g(x)=(logx)/x

g’(x)=(1−logx)/x^2

について

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際,

  e^π=23.14069・・・

  π^e=22.45915・・・

3^2>2^3

こうして,関数f(x)=x^(x^x^x^x^x^・・・)は区間[exp(−e),exp(1/e)]で定義されることをオイラーが示しています.

exp(−e)=0.06598803584・・・<1

exp(1/e)=1.44466786100>√2>1

f(1/e)=0.56714329・・・=Ω, Ωはxexp(x)=1の解

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それに対して,関数f(x)=x^xはx≧0で定義されます.

[補題]関数y=x^xを微分せよ.

logy=logx^x=xlogx

  (xlogx)’=logx+1

  y’=y(logx+1)=(logx+1)x^x

したがって,x^xは0<x<1/eでは単調減少,x>1/eでは単調増加.x=1/eのとき,最小値(1/e)^1/e=e^-1/e=0.9622・・・をとる.また,t・logtはt→0のとき0となるから,

  x^x→1  (x→0)

y=x^x=eの解はx=exp(Ω)

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