■無理数の測度論(その5)

 任意の無理数γを与えたとき,

  γ^n=[γ^n]+{γ^n}

において,γ^nの非整数部分{γ^n}のn=1,2,3,・・・としたときの分布については,どのようなより強い結果,より深い結果が得られるのであろうか?

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 γ=3/2として{γ^n}を調べてみると,

  {1.5^1}=.5

  {1.5^2}=.25

  {1.5^3}=.375

  {1.5^4}=.0625

  {1.5^5}=.59375

  ・・・・・・・・・・・・・

 実際に度数分布図を描いてみるとかなり均等に散らばっているようにみえるが,{1.5^n}が一様分布するかどうかは,知る人ぞしる未解決問題である.何とも不思議な話ではあるが,ほとんどすべてのγ(>1)について,{γ^n}は一様分布することが証明されているにもかかわらず,具体的なγで{γ^n}が一様分布するものはひとつも知られていないという状況なのである.

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【1】ピゾ数(ピゾ・ヴィジャヤラガヴァン数)

 逆に,具体的なγで{γ^n}が一様分布しない例が,ピゾ数である.

 τ=(1+√5)/2,γn={τ^n}とする.γnは[0,1]で一様分布しないのであるが,ここでは非整数部分でなく,一番近い整数との距離を調べてみると

  |τ^1|=.38179

  |τ^2|=.38179

  |τ^3|=.23607

  |τ^4|=.14590

  |τ^5|=.09017

  ・・・・・・・・・・・・・

となって,0に近づくことがわかる.

 その理由は簡単で,

  τ=(1+√5)/2=α,(1−√5)/2=β

とおけば,これらはx^2−x−1=0の2根で,

  α+β=1,αβ=−1

α^n+β^nは常に整数となる.このとき,

  |β^n|→0,|α^n|→整数

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