■無理数の測度論(その2)

【2】ワイルの規準

 ワイルの規準とは,

  『[0,1)内の実数列ξ1,ξ2,・・・が一様分布するには,すべての整数kに対して,N→∞のとき

  1/NΣexp(2πikξn)→0

が成立するときに限られる』というものである.

 ワイルの規準を用いることにより,以下の結果が示される.

[5]γが無理数であれば{n^2γ}は区間[0,1)で一様分布する

[6]P(x)=cnx^n+cn-1x^n-1+・・・+c1x+c0において,c1,・・・,cnのうち少なくともひとつが無理数であるとすると,{P(n)}は区間[0,1)で一様分布する

[7]sが整数でないならば{an^s}は区間[0,1)で一様分布する

 ところが,

[8]{alogn}はいかなるaに対しても一様分布しない

[9]γn={((1+√5)/2)^n}とする.γnは[0,1]で一様分布しない

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