■無理数の測度論(その1)

無理数γを与えたとき,nγの非整数部分{nγ}=nγ−[nγ]のn=1,2,3,・・・としたときの分布について何がいえるであろうか?

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【1】クロネッカー・ワイルの定理

 無理数の性質に関するワイルの一様分布定理とは,nγの非整数部分{nγ},n^2γの非整数部分{n^2γ}のn=1,2,3,・・・としたときの分布についての定理で,

[1]γが無理数であれば{nγ}は区間[0,1)において一様分布する

[2]γが無理数であれば{n^2γ}は区間[0,1)で一様分布する

 部屋割り論法あるいは鳩の巣原理を用いて証明してみよう.

  nγ=[nγ]+{nγ}

[1]γが有理数であれば{nγ}は有限個の相異なる値しかとらない

(証)γ=p/qならば,この数列の最初の第q項までは

  {p/q},{2p/q},・・・,{(q−1)p/q},{qp/q}=0

そして第q+1項は

  {(q+1)p/q}={1+p/q}={p/q}

以後,これの繰り返しとなる.

[2]γが無理数であれば{nγ}の値はすべて異なる

(証){n1γ}={n2γ}と仮定する.このとき,(n1−n2)γは整数→γは有理数となり矛盾.

[3]γが無理数であれば{nγ}は区間[0,1]において稠密である(クロネッカーの稠密定理)

[4]γが無理数であれば{nγ}は区間[0,1)において一様分布する(ワイルの一様分布定理)

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