【１】無理数の発見(ピタゴラス)

ピタゴラス数は

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

を満たす自然数の三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）のことです．幾何学的には直角三角形の斜辺の長さの２乗は他の２辺の長さの２乗の和に等しいことをいっていて，これを満たす三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）は無限にありますが，最初の１組は（３，４，５）になります．３辺の長さの比が３：４：５の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから，ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で，エジプト三角形と呼ばれることもあります．ほかに（５，１２，１３），（７，２４，２５），（２９，４２０，４２１）など

直角二等辺三角形（１，１，ａ）では

　　ａ^2＝１＋１＝２

が成り立ちます．２の平方根は代数方程式ａ^2＝２を満たす正の数ですが，ａは１よりも大きく，２よりも小さいので，分数になるとすると

　　（７／５）^2＝１．９６

　　（７０７／５００）^2＝１．９９９３９６

　　（７０７２／５０００）^2＝２．０００５２７３６

ところが，２乗して２になる分数は存在しないのです．

√２〜１．１４１４２・・・

√２〜１．１４１４２１３５６・・・

√２〜１．１４１４２１３５６２３７・・・

√２〜１．４１４２１３５６２３７３０９５・・・

と数字は無限につづき，さらに

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１４２８５７１・・・

（循環節：４２８５７１）のような巡回性もありません．

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