■sin15°(その19)

【5】πの近似式

π=3.141592653589・・・

の近似値として有名なのが

22/7=3.142857142857・・・(アルキメデス)

355/113=3.141592920353・・・(祖沖之)

前者は学校でならって馴染みのある例ですが,後者ではさらに近似度が増しています.また,前者は6桁で循環,後者は112桁で循環しますが,πは無理数なので同じ数字の列が循環することはありません.

ラマヌジャンによるπの近似式としては

2π√2〜99^2/1103

π^4〜9^2+19^2/22

π〜63(17+15√5)/25(7+15√5)

などがあります.π^4の連分数は,

  π^4=[97:2,2,3,1,16539,・・・]

ですから,ラマヌジャンはわざわざこれを対称性の高い形に書き直していることがわかります.

  π^4〜97+9/22=9^2+19^2/22

π^4〜2143/22

  22π^4〜2143

  22π^4〜2143.0000127・・・

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