アリスタルコスは太陽系の大きさを見積もるために歴史上はじめて三角法を使って

ｓｉｎ３°の有理数近似：ｓｉｎ３°〜1/19

を得たといわれている。

たとえば、不等式：1/20＜ｓｉｎ３°＜1/18を得ることはできるだろうか？

ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

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ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ=（√６−√２）／４

4sin5θ=64(sinθ)^5-80(sinθ)^3+20sinθ=（√６−√２）

1/18を代入してみると

2^6/2^5/3^10-5・2^4/2^3/3^6+5・2^2/2/3^2<>（√６−√２）

2/3^10-5・2/3^6+5・2/3^2<>（√６−√２）

1/3^10-5/3^6+5/3^2<>（√６−√２）/2

1-5・3^4+5・3^8<>（√６−√２）/2・3^10

1+5・3^4(3^4-1)<>（√６−√２）/2・3^10

1+5・3^4（3^4-1）＝32401

59049（√６−√２）/2＞32401

ｓｉｎ３°＜1/18

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