【２】高次元球帽の面積

　Ｓn-1球面上の２点ｘ，ｙに対して，θ＝∠ｘｏｙを球面距離という．また，球面上の円を球帽という．ここでは点Ｐからの球面距離がθ（０≦θ≦π）であるような球面上の点全体の集合を考えるが，球面半径θの球帽の面積をＣ（θ）で表すことにする．

(1)ｎ＝２のとき，Ｃ（θ）＝２θ

(2)ｎ＝３のとき，y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられる．y=(1-x^2)^(1/2)とおくと

　　C[θ]=2π∫(cosθ,1)dx=2π(1-cosθ)

(3)ｎ＞３のとき

　ｎ＞３は簡単には求められないが，x=(x1,x2,･･･,xn)を単位球面Ｓn-1上で一様分布する点とすると，xn^2の分布はベータ分布Beta(1/2,(n-1)/2)となることが証明されている．→コラム「高次元のパラドックスとスターリングの公式（その２）」参照

　そこで，Ｓn-1球面の極（０，・・・，０，１）の周りに球面半径θの球帽を設けて，ここに含まれる確率を求めてみることにする．すなわち

　　Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：cosθ≦ｘn≦１｝

　＝1/2Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：(cosθ)^2≦ｘn^2≦１｝

　＝1/2（１−Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝）

　ベータ分布の確率密度関数は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^(p-1)（１−ｘ）^(q-1)／Β（ｐ，ｑ）

であるが，その分布関数は不完全ベータ関数と密接に関係していて，ガウスの超幾何関数2Ｆ1を使って以下のように表現される．

　　Ｆ（ｘ）＝１／ｐｘ^p2Ｆ1(p,1-q,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　　　　　＝１／ｐｘ^p（１−ｘ）^q2Ｆ1(p+q,1,p+1,x)／Β（ｐ，ｑ）

　　Ｐ｛ｘ＜Ｓn-1：０≦ｘn^2≦(cosθ)^2｝＝Ｆ（(cosθ)^2）

であるから

　　Ｃ（θ）＝（Ｓn-1の面積）×（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２

と求められる．

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼ぶ．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をｖnとすると，単位超球の表面積ｓn-1はｎｖnとなる．ただし，

　　ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

ｎ Ｖn ｎ Ｖn ｎ Ｖn

１ 2 ６ 5.168 11 1.884

２ 3.142 ７ 4.725 12 1.335

３ 4.189 ８ 4.059 13 0.911

４ 4.934 ９ 3.299 14 0.599

５ 5.264 10 2.550

　なお，超球の体積はｎ＝５のとき最大であり，ｎが大きくなると急激に０に近づく．しかもそれは直径を１辺とする超立方体と比べて無視できるほど小さくなる．ｎｖnが最大になるのはｎ＝７のときである（１６π^3／１５）．

　したがって，

　　Ｃ（θ）＝ｎｖn（１−Ｆ（(cosθ)^2））／２

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　p=1/2,q=(n-1)/2であるから，ベータ分布の確率密度関数と分布関数は

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^(-1/2)（１−ｘ）^((n-3)/2)／Β（1/2，(n-1)/2）

　　Ｆ（ｘ）＝２ｘ^(1/2)（１−ｘ）^((n-1)/2)2Ｆ1(n/2,1,3/2,x)／Β（1/2，(n-1)/2）

　とくに

(1)ｎ＝２のとき，ベータ分布は逆正弦分布

　　f(x)=1/π･{x(1-x)}^(1/2)

で，Ｕ字型の形状をとる．対応する累積分布関数は

　　F(x)=2/π･arcsin(x^(1/2))

となるから，

　　Ｆ（(cosθ)^2）＝１−２θ／π

より

　　Ｃ（θ）＝２θ

(2)ｎ＝３のとき，ベータ分布はベキ乗分布

　　f(x)=1/2･x^(-1/2)

でＪ字型分布となる．分布関数は

　　F(x)=x^(1/2)

であるから

　　Ｆ（(cosθ)^2）＝ｃｏｓθ

より

　　Ｃ（θ）＝２π（１−ｃｏｓθ）

となって前述の式に一致する．

(3)ｎ＞３のとき，Ｃ（θ）を簡潔な形に表すことはできない．

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