アリスタルコスは太陽系の大きさを見積もるために歴史上はじめて三角法を使って

ｓｉｎ３°の有理数近似：ｓｉｎ３°〜1/19

を得たといわれている。

たとえば、不等式：1/20＜ｓｉｎ３°＜1/16を得ることはできるだろうか？

ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は既知とする。

sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ=（√６−√２）／４

4sin5θ=64(sinθ)^5-80(sinθ)^3+20sinθ=（√６−√２）

1/20を代入してみると

64/2^10/5^5-80/2^6/5^3+20/2^2/5<>（√６−√２）

2^6/2^10/5^5-5・2^4/2^6/5^3+5・2^2/2^2/5<>（√６−√２）

1/2^4/5^5-1/2^2/5^2+1<>（√６−√２）

1-2^4・5^3+2^4・5^5<>（√６−√２）・2^4・5^5＝（√６−√２）・5・10^4

1+5^3・2^4（10-1）＝18001

50000（√６−√２）〜50000・1.035

ｓｉｎ３°＞1/20

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝