■フルヴィッツ曲線(その124)

 正n角形の枠を(n−2)公転について1回自転させたときの包絡線を用いてドリルを設計しました.包絡線の方程式は

  x=(n−1)acos(n−1)θ・cosθ+(asin(n−1)θ−R)・sinθ

  y=−(n−1)acos(n−1)θ・sinθ+(asin(n−1)θ−R)・cosθ

で表されます.

【1】接線極座標

 卵形線上に原点をとり,曲線上の点P(x0,y0)における接線とx軸とのなす角度をθとすると,

ここでの問題点は卵形線上に原点をとれるか? 卵形線上に原点をとる必要はないのではないか?

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接線方向の単位ベクトル  : e1=(cosθ,sinθ)

それと直交する単位ベクトル: e2=(−sinθ,cosθ)

となります.

 また,接線の方程式は

  y−y0=tanθ(x−x0)

  (x−x0)sinθ−(y−y0)cosθ=0

  xsinθ−ycosθ=x0sinθ−y0cosθ=p(θ)

と表されます.このとき,右辺はベクトルPOと法線ベクトルの内積ですから,原点から接線までの距離は|p(θ)|で与えられます.

 すなわち,曲線上の点Pにおける接線に原点Oから引いた垂線の長さをp,接線とx軸とのなす角度をθとすると,

  xsinθ−ycosθ=p(θ)

と表されます.(p,θ)を接線極座標といいます.

しかし、この包絡線の接線極座標上の方程式は簡単な形で表すことはできません。しかし、x軸に関する対称点

(x,-y)を考え、(x0,-y0)からこの接線までの距離を求めると,

  x=(n−1)acos(n−1)θ・cosθ+(asin(n−1)θ−R)・sinθ

  y=(n−1)acos(n−1)θ・sinθ−(asin(n−1)θ−R)・cosθ

とおいて

  xsinθ−ycosθ

に代入すると,

  |2(n-1)asin(n−1)θ−2R|

で与えられます.

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卵形線上に原点をとる必要はないようである。

  x=(n−1)acos(n−1)θ・cosθ+(asin(n−1)θ−R)・sinθ

  y=(n−1)acos(n−1)θ・sinθ−(asin(n−1)θ−R)・cosθ

θ=0のとき、y=-R

(x,-y)からこの接線までの距離は2R・・・合致

この関数は周期関数であるから

  xsinθ−ycosθ

とパラメータを等しくとることができると思われる

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