■フルヴィッツ曲線(その120)

以下の言明は誤りであった。(その119)にて訂正

===================================

  フルヴィッツ・藤原曲線の接線極座標における方程式は,

  p(θ)=r+asin(n−1)θ

  r≧{(n−1)^2−1}a

と書くことができます.

 フルヴィッツ・藤原曲線の平行曲線もまた内転形となるのですが,同じ凸n角形のすべての内転形の周長は等しいことより,正n角形の内接円の半径をrとして,中心軌道の軌道半径を

  a=r/{(n−1)^2−1}

で定めれば面積最小のフルヴィッツ・藤原曲線が求められます.

===================================

【1】フルヴィッツ・藤原曲線の一般式

  p(θ)=r+asin(n−1)θ

はsinがcosであっても本質的な違いはありません.

  p(θ)=r+acos(n−1)θ

 複素数

  exp(iθ)=cosθ+isinθ

を使えば直ちにそのことがわかるのですが,要はω=2π/nとおいて,

  Σ(k=0~n-1)p(θ+kω)=nr(一定)

であれば正n角形の内転形であるための条件を満たすので,フルヴィッツ・藤原曲線は正n角形の内転形であるというわけです.

 このことから,フルヴィッツ・藤原曲線の一般式は,

  p(θ)=a0/2+a1cos{(n−1)θ}+b1sin{(n−1)θ}   (n≧3)

と書くことができます.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

曲線の長さをs,接線がx軸となす角をθとすると,f(s,θ)=0あるいはρ=f(s)なる方程式が与えられれば曲線の形が決定されます.

  1/ρ=dθ/ds,dx/ds=cosθ,dy/ds=sinθ

 ルーローの三角形のような区分毎に接続された卵形線の接線極座標における方程式p(θ)で表す場合であっても,各部分の継ぎ目でθは連続でジャンプしません.その意味でθは弧長パラメータsと同じと考えることができます.

  θ=θ(s)

 もし,p(θ)をフーリエ級数に展開し

  p(θ)=a0/2+Σ(akcoskθ+bksinkθ)

とすると,その面積はパーセヴァルの定理より

  1/2∫(0,2π)(p^2(θ)−p’^2(θ))dθ=1/2{a0^2π+Σ(ak^2+bk^2)(1−k^2)π}

になります.

===================================