調和級数（自然数の逆数の和）が発散することはよく知られている．それどころか，素数の逆数の和だけでさえ発散する．

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（証）ｐ（≦ｎ）なる素数を考える．</P>

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＝Π１／（１−１／ｐ）

を展開すると自然数の逆数は必ずでてくるから

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＞１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｎ→∞

　Π１／（１−１／ｐ）→∞

左辺の対数をとると

　　ｇ（ｎ）＝Σｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））→∞

　ここで，ｌｏｇｘ＜ｘを用いて

　　ｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））＜１／（ｐ−１）＝１／ｐ＋１／ｐ（ｐ−１）＜１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2

　　ｇ（ｎ）＜Σ｛１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2｝＝Σ｛１／ｐ）＋π^2／６

　これよりΣ｛１／ｐ）→∞

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