■ヤコビの4平方和定理(その8)

 (a)オイラーの五角数定理(1750年)

  Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))   n:1~∞,m:-∞~∞,m(3m-1)/2は五角数

 オイラーは

(1)nが五角数でない限り,正の整数nを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと,

(2)nが五角数ならば,正の整数nを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数=(−1)^k,n=k(3k+1)/2

を示したことになる

 (b)ヤコビの三角数定理(1829年)

  Π(1-q^n)^3=Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)   n:1~∞,m:0~∞,(m^2+m)/2は三角数

はヤコビの三重積公式

  Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

を使うとあっさり証明できます.

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【1】分割関数のm角数等式

[1]三角数等式

 ヤコビの三重積公式

  Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

において,z=1とすれば,

  Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))

が得られる.ここで,右辺が第0項から始まるようにパラメータをずらすと,

  Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2)  m:-∞~∞

[2]七角数等式

 qをすべてq^5に置き換え,z=−1/qとすれば,

  Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)

が得られる.ここで,右辺が第0項から始まるようにパラメータをずらすと,

  Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)  m:-∞~∞

[3]m角数等式

 qをすべてq^m-2に置き換え,z=−1/qとすれば,

  Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)

が得られる.ここで,右辺が第0項から始まるようにパラメータをずらすと,

  Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)  m:-∞~∞

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