■メルセンヌ素数予想(その29)

完全数の問題は約数の和の問題であったが、ここでは約数の個数の問題を扱ってみたい。

平方数の約数の個数は奇数個であることがわかったが、奇数には4で割って1余るものと3余るものがある。

(その28)では予想がつかなかったので、

1=1^4と書き換えることにした。

===================================

N、約数、約数の個数

1,{1}、1

4,{1,2,4}、3

9.{1,3,9}、3

16.{1,2,4,8,16}、5

25,{1.5,25}、3

36、{1,2,3,4,6,9,12,18、36}9

[1]約数の個数を4で割って1余るもの

1=1^4=1^2・1^2

16=2^4=2^2・2^2

36=2^2・3^2

[2]約数の個数を4で割って1余るもの

4=2^2

9=3^2

25=5^2

===================================

約数の個数を4で割って1余るための必要十分条件は(重複を許して)偶数個の素数の平方数の積であることである。

===================================