メルセンヌ素数に関する予想は，メルセンヌ素数以上にある．そして、大きなメルセンヌ素数を発見することによって，その分布についての新しい予想が打ち立てられる

メルセンヌ素数に対するWagstaff予想とは、

[1]x以下のメルセンヌ素数の個数は

　　およそexp(γ)/log2・loglogxである。

[2]xと2xの間にあるメルセンヌの素数2^p-1の期待値はおよそγである。

[参]　杉岡幹生・武捨貴和「初等数学によるゼータ関数の探求」

しかし、命題

[2]xと2xの間にあるメルセンの素数2^p-1の期待値はおよそγである。

の命題に問題がありそうである。

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　　πM（ｘ）＝［ｘ以下のメルセンヌ素数の個数］として，

　　πM（ｘ）〜Ｃ・ｌｏｇｌｏｇｘ

　　Ｃ＝ｅｘｐγ／ｌｏｇ２

と予想されています．γ＝０．５７７・・・（オイラー定数），ｅｘｐγ＝１．７８・・・

　Ｍp＝２^p−１を生じるｐに近い素数密度は

　　ｅｘｐγ／ｐｌｏｇ２

これとｐに近い一般的な素数密度１／ｌｏｇｐを比較してみると

　　ｐ／ｅｘｐγｌｏｇ2ｐ

の素数密度となり，平均してそのひとつの素数がメルセンヌ素数となる．

　メルセンヌ素数を生成する素数ｐの確率密度は

　　ｌｏｇ2ｐ〜ｌｏｇ2（ｌｏｇ2Ｍp）より

横軸ｎ

縦軸ｌｏｇ2（ｌｏｇ2Ｍ（ｎ））

とすると傾き１／ｅｘｐγ＝０．５６の直線となる．

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　　πM（ｘ）〜Ｃ・ｌｏｇｌｏｇ2ｘ

　　Ｃ＝ｅｘｐγ／ｌｏｇ２＝１／０．５６／ｌｏｇ２

　γをオイラーの定数とする．

　　γ＝ｌｉｍ（１／ｋ−ｌｏｇｎ）＝０．５７７３５０２６９１・・・

　　−ｌｏｇγ＝０．５４９５３９３１２９・・・

　　ｅｘｐ（γ）＝１．７８１０７２４１７９・・・

　　ｅｘｐ（−γ）＝０．５６１４５９４８３５６６８８５・・・

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