■フルヴィッツ曲線(その106)

x軸に平行な直線(x=β、y=-R)をn公転について1回自転させてみる.その際,公転と自転の向きを逆方向にとると,

  [X]=[cosθ,sinθ][x]+acos(nθ)

  [Y]=[-sinθ,cosθ][y]+asin(nθ)

 その運動族

  x=βcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=-βsin(θ)-Rcos(θ)+asin(nθ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂x/∂β)(∂y/∂θ)=0

を計算すると・・・

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∂x/∂β=cos(θ)

∂y/∂θ=-βcosθ+Rsin(θ)+nacos(nθ)

∂y/∂β=-sin(θ)

∂x/∂θ=-βsinθ-Rcos(θ)-nasin(nθ)

β=(na)cos(n+1)θ

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  x=βcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=-βsin(θ)-Rcos(θ)+asin(nθ)

に代入すると

  x=(na)cos(n+1)θcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=-(na)cos(n+1)θsin(θ)-Rcos(θ)+asin(nθ)

x=(na)/2{cos(n+2)θ+cosnθ)}-Rsin(θ)+acos(nθ)

y=-(na)/2{sin(n+2)θ)-sinnθ}-Rcos(θ)+asin(nθ)

2倍して整理すると

x=(na){cos(n+2)θ+cosnθ)}-2Rsin(θ)+2acos(nθ)

y=-(na){sin(n+2)θ-sinnθ}-2Rcos(θ)+2asin(nθ)

x=(na)cos(n+2)θ+(n+2)acosnθ-2Rsinθ

y=-(na)sin(n+2)θ+(n+2)asinnθ-2Rcosθ

これはどのような曲線になるのか?

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