■フルヴィッツ曲線(その101)

x軸に平行な直線(x=β、y=R)をn公転について1回自転させてみる.その際,公転と自転の向きを同方向にとると,

  [X]=[cosθ,-sinθ][x]+acos(nθ)

  [Y]=[sinθ,cosθ][y]+asin(nθ)

 その運動族

  x=βcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=βsin(θ)+Rcos(θ)+asin(nθ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂x/∂β)(∂y/∂θ)=0

を計算すると・・・

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∂x/∂β=cos(θ)

∂y/∂θ=βcosθ-Rsin(θ)+nacos(nθ)

∂y/∂β=sin(θ)

∂x/∂θ=-βsinθ-Rcos(θ)-nasin(nθ)

β=-(na)cos(n-1)θ

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  x=βcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=βsin(θ)+Rcos(θ)+asin(nθ)

に代入すると

  x=-(na)cos(n-1)θcos(θ)-Rsin(θ)+acos(nθ)

  y=-(na)cos(n-1)θsin(θ)+Rcos(θ)+asin(nθ)

x=-(na)/2{cosnθ+cos(n-2)θ)}-Rsin(θ)+acos(nθ)

y=-(na)/2{sin(nθ)-sin(n-2)θ}+Rcos(θ)+asin(nθ)

2倍して整理すると

x=-(na){cos(nθ)+cos(n-2)θ)}-2Rsin(θ)+2acos(nθ)

y=-(na){sin(nθ)-sin(n-2)θ}+2Rcos(θ)+2asin(nθ)

x=-(n-2)acos(nθ)-nacos(n-2)θ-2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ+2Rcosθ

これはどのような曲線になるのか?

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