■フルヴィッツ曲線(その98)

x軸に平行な直線(x=β、y=R)を(n−2)公転について1回自転させてみる.その際,公転と自転の向きを逆方向にとると,

  [X]=[ cosθ,sinθ][x]+acos(n−2)θ

  [Y]=[−sinθ,cosθ][y]+asin(n−2)θ

 その運動族

  x=βcos(θ)+Rsin(θ)+acos((n−2)θ)

  y=-βsin(θ)+Rcos(θ)+asin((n−2)θ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂x/∂β)(∂y/∂θ)=0

を計算すると・・・

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∂x/∂β=cos(θ)

∂y/∂θ=-βcosθ-Rsin(θ)+(n-2)acos((n−2)θ)

∂y/∂β=-sin(θ)

∂x/∂θ=-βsinθ+Rcos(θ)-(n-2)asin((n−2)θ)

β=(n-2)acos(n-1)θ

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  x=βcos(θ)+Rsin(θ)+acos((n−2)θ)

  y=-βsin(θ)+Rcos(θ)+asin((n−2)θ)

に代入すると

  x=(n-2)accos(n-1)θcos(θ)+Rsin(θ)+acos((n−2)θ)

  y=-(n-2)accos(n-1)θsin(θ)+Rcos(θ)+asin((n−2)θ)

x=(n-2)a/2{cosnθ+cos(n-2)θ)}+Rsin(θ)+acos((n−2)θ)

y=-(n-2)a/2{sin(nθ)-sin(n-2)θ}+Rcos(θ)+asin((n−2)θ)

2倍して整理すると

x=(n-2)a{cosnθ+cos(n-2)θ)}+2Rsin(θ)+2acos((n−2)θ)

y=-(n-2)a{sin(nθ)-sin(n-2)θ}+2Rcos(θ)+2asin((n−2)θ)

x=(n-2)acos(nθ)+nacos(n-2)θ+2Rsinθ

y=-(n-2)asin(nθ)+nasin(n-2)θ+2Rcosθ

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