Rsin(β−(n-1)θ）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β)

Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ-(n-2)β）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

Rsin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)cos((n-2)β）-Rcos(（ｎ−１）β−(n-1)θ)sin((n-2)β）+ａ(n-1)sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

sin(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rcos((n-2)β）+ａ(n-1)}-cos(（ｎ−１）β−(n-1)θ){Rsin((n-2)β）}=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rcos((n-2)β）+ａ(n-1)}

B={Rsin((n-2)β）}

C={-Rsin((n-2)β）}=B

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ａsin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）-Ｂcos（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）＝Ｃ

の形に整理されます．

　ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　sin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-ψ）＝C／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)=ｓｉｎψ

より

２cos（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）/2sin（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-2ψ）/2＝0

{（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ}/2＝π/2，3π/2,5π/2、・・・

{（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ-2ψ}/2＝0、π、2π、・・・

後者より

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β）＋（ｎ−１）ａ））

が得られる。

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Ｒ＝（ｎ−１）ａのとき

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（ｓｉｎ（（ｎ−２）β）／（ｃｏｓ（（ｎ−２）β）＋１））

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（ｔａｎ（（ｎ−２）β）／２））

　　θ＝β−２／（ｎ−１）・（ｎ−２）β／２

　　θ＝β−（ｎ−２）β／（ｎ−１）

　　β−θ＝（ｎ−２）β／（ｎ−１）

　ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β-θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β-θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β-θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β-θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に代入すると

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓ（β-θ）＋ｃｏｓ（（ｎ−１）β-θ）＋ｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（β-θ）＋ｓｉｎ（（ｎ−１）β-θ）＋ｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓ（（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｃｏｓ（（ｎ−１）β-β+（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｃｏｓ（（ｎ−２）β−（ｎ−２）^2β／（ｎ−１））

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｓｉｎ（（ｎ−１）β-β+（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｓｉｎ（（ｎ−２）β−（ｎ−２）^2β／（ｎ−１））

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓ（（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｃｏｓ（（ｎ−２）β+（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｃｏｓ（（ｎ−２）β−（ｎ−２）^2β／（ｎ−１））

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎ（（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｓｉｎ（（ｎ−２）β+（ｎ−２）β／（ｎ−１））＋ｓｉｎ（（ｎ−２）β−（ｎ−２）^2β／（ｎ−１））

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