フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

（∂ｙ／∂β）=-ｎ(n-2)acos（nβ+θ）＋n(n-2)ａcos（（ｎ−2）β−θ）+2Rsin(β+θ）

（∂ｘ／∂θ）=-(n-2)asin（nβ+θ）＋nａsin（（ｎ−2）β−θ）−2Rcos(β+θ）-(n-1)ａsin（（ｎ−1）θ）

（∂x／∂β）=-n(n-2)asin（nβ+θ）-n(n-2)ａsin（（ｎ−2）β−θ）−2Rcos(β+θ）

（∂y／∂θ）=-(n-2)acos（nβ+θ）-nａcos（（ｎ−2）β−θ）+2Rsin(β+θ）＋(n-1)ａcos（（ｎ−1）θ）

R＝n(n-2)aとおかないで計算を続ける。

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-2a^2n(n-1)(n-2)sin((2n-2)β)-4Ra(n-1)cos(n-1)β

｛a^2n(n-1)(n-2)sin(nβ)+a^2n(n-1)(n-2)sin(n-2)β+2Ra(n-1)cosβ｝cos(nθ)

{a^2n(n-1)(n-2)cos(nβ)-a^2n(n-1)(n-2)cos(n-2)β-2Ra(n-1)sinβ}sin(nθ)=0

-2an(n-2)sin((2n-2)β)-4Rcos(n-1)β

｛an(n-2)sin(nβ)+an(n-2)sin(n-2)β+2Rcosβ｝cos(nθ)

{an(n-2)cos(nβ)-an(n-2)cos(n-2)β-2Rsinβ}sin(nθ)=0

R＝n(n-2)aのとき

-2sin((2n-2)β)-4cos(n-1)β

｛sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ｝cos(nθ)

{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(nθ)=0

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