■正多面体と素数(その29)

球面正弦定理は

  sinα:sinβ:sinγ=sin(a/R):sin(b/R):sin(c/R)

R=1とすると

sin(a)/sinα=sin(b)/sinβ=sin(c)/sinγ

 球面余弦定理は,

  cos(c)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)cosγ

γ=π/2のときは cos(c)=cos(a)cos(b)

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三角形αβγが小さいとき、

sin(a)〜a

sin(b)〜b

sin(c)〜c

cos(a)〜1-a^2/2

cos(b)〜1-b^2/2

cos(c)〜1-c^2/2

より、球面正弦定理→平面正弦定理 球面余弦定理→平面余弦定理

で表される.

1-c^2/2=(1-a^2/2)(1-b^2/2)+abcosγ

1-c^2/2=1-a^2/2-b^2/2+a^2b^2/4+abcosγ

ここで、a^2b^2は無視することができて

c^2=a^2+b^2-2abcosγ  (平面余弦定理)

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 それに対して,双曲的三角法では,球面正弦定理のRをiRに置き換えることによって,

  sinα:sinβ:sinγ=sinh(a/R):sinh(b/R):sinh(c/R)

が得られる.

R=1とすると

sinh(a)/sinα=sinh(b)/sinβ=sinh(c)/sinγ

 双曲余弦定理は,

  cosh(c)=cosh(a)cosh(b)-sinh(a)sinh(b)cosγ

γ=π/2のときは cosh(c)=cosh(a)cosh(b)

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三角形αβγが小さいとき、

sinh(a)〜a

sinh(b)〜b

sinh(c)〜c

cosh(a)〜1+a^2/2

cosh(b)〜1+b^2/2

cosh(c)〜1+c^2/2

より、双曲正弦定理→平面正弦定理 双曲余弦定理→平面余弦定理

で表される.

1+c^2/2=(1+a^2/2)(1+b^2/2)-abcosγ

1+c^2/2=1+a^2/2+b^2/2+a^2b^2/4+abcosγ

ここで、a^2b^2は無視することができて

c^2=a^2+b^2-2abcosγ  (平面余弦定理)

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