■マルコフ数とフィボナッチ数(その11)

[0 1 0 0   0]

[1 0 1 0    ]

[0 1 0 1    ]=An

[0 0 1 0    ]

[        0 1]

[0       1 0]

[ x −1  0  0     0]

[−1  x −1  0      ]

[0  −1  x −1      ]=det(xEn−An)=△n(x)

[0  0  −1  x      ]とおく.

[             x −1]

[0           −1  x]

△1(x)=x,

△2(x)=x^2−1,

△3(x)=x^3−2x,

△4(x)=x^4−3x^2+1,

漸化式

△n(x)=x△n-1(x)−△n-2(x)を得る.

△5(x)=x^5−4x^3−3x,

△6(x)=x^6−5x^4+6x^2−1,

△7(x)=x^7−6x^5+10x^3−4x

△n(2cosθ)=sin(n+1)θ/sinθ

△n(x)=Π(x−2cos(kπ/(n+1))と因数分解されて

2cos(kπ/(n+1))を零点にもつことがわかる.

△n(2)=n+1

△n(3)=F2n+2

△n(0),△n(1)については

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

を参照されたい.

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