■マルコフ数とフィボナッチ数(その6)

 2次のディオファントス方程式x^2+y^2+z^2=3xyzの解として現れる,

  1,2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,・・・

はマルコフ数と呼ばれます.

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[1]1,2,5,13,34,89,233,610,1597,・・・はフィボナッチ数のひとつ置きの数列になっている.項比は

  φ^2=(3+√5)/2

に近づく.

[2]2,5,13,29,34,89,169,194,233,433,610,985,1325,・・・は2乗和で表される数列である.

  2=1^2+1^2

  5=1^2+2^2

 13=2^2+3^2

 29=2^2+5^2

 34=3^2+5^2

 89=5^2+8^2

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{gn}=1,3,8,21,55,144,・・・

  gn=1/√5{φ^2n−(−1/φ)^2n}=F2n

であったが,

[1]初項g1=F1=1,g2=F3=2,g3=F5=5,・・・

  gn=1/√5{φ^2n-1−(−1/φ)^2n-1}=F2n-1

検してみたい.

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【1】類フィボナッチ数列

  an+1=3an−an-1

 α,βを2次方程式x^2−3x+1=0の根(3±√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(3+√5)/2,β=(3−√5)/2,初期値をa1=1,a2=3とすると

(a2−βa1)=2−(3−√5)/2=(1+√5)/2=α^1/2

(a2−αa1)=2−(3+√5)/2=(1−√5)/2=β^1/2

α−β=√5

より

  an=1/√5{{(3+√5)/2}^n-1/2−{(3−√5)/2}^n-1/2}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^2n-1−{(1−√5)/2}^2n-1}=F2n-1

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