■マルコフ数とフィボナッチ数(その5)

{gn}=1,3,8,21,55,144,・・・

  gn=1/√5{φ^2n−(−1/φ)^2n}=F2n

であったが,最後に

[2]初項g1=F3=2,g2=F5=5,g3=F7=13,・・・

  gn=1/√5{φ^2n+1−(−1/φ)^2n+1}=F2n+1

検してみたい.

  φ^-3=2φ−3=−2+√5

  φ^3=2φ+1=2+√5

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【1】類フィボナッチ数列

  an+1=3an−an-1

 α,βを2次方程式x^2−3x+1=0の根(3±√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(3+√5)/2,β=(3−√5)/2,初期値をa1=1,a2=3とすると

(a2−βa1)=5−(3−√5)=2+√5=α^3/2

(a2−αa1)=5−(3+√5)=2−√5=β^3/2

α−β=√5

より

  an=1/√5{{(3+√5)/2}^n+1/2−{(3−√5)/2}^n+1/2}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^2n+1−{(1−√5)/2}^2n+1}=F2n+1

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