■マルコフ数とフィボナッチ数(その3)

{gn}=1,3,8,21,55,144,・・・

  gn=1/√5{φ^2n−(−1/φ)^2n}=F2n

であったが,

[1]初項g1=F1=1,g2=F3=2,g3=F5=5,・・・

  gn=1/√5{φ^2n-1−(−1/φ)^2n-1}=F2n-1

[2]初項g1=F3=2,g2=F5=5,g3=F7=13,・・・

  gn=1/√5{φ^2n+1−(−1/φ)^2n+1}=F2n+1

[3]初項g1=F4=3,g2=F6=8,g3=F8=21,・・・

  gn=1/√5{φ^2n+2−(−1/φ)^2n+2}=F2n+2

と思われる.[3]について検してみたい.

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【1】類フィボナッチ数列

  an+1=3an−an-1

 α,βを2次方程式x^2−3x+1=0の根(3±√5)/2として,

  an+1−αan=β(an−αan-1)=β^2(an-1−αan-2)=・・・=β^(n-1)(a2−αa1)

α,βを入れ替えると

  an+1−βan=α^(n-1)(a2−βa1)

  an+1−αan=β^(n-1)(a2−αa1)

 したがって,整数列{an}の一般項は

  an={α^(n-1)(a2−βa1)−β^(n-1)(a2−αa1)}/(α−β)

α=(3+√5)/2,β=(3−√5)/2,初期値をa1=1,a2=3とすると

(a2−βa1)=8−3・(3−√5)/2=(7+3√5)/2=α^2

(a2−αa1)=8−3・(3+√5)/2=(7−3√5)/2=β^2

α−β=√5

より

  an=1/√5{{(3+√5)/2}^n+1−{(3−√5)/2}^n+1}

  an=1/√5{{(1+√5)/2}^2n+2−{(1−√5)/2}^2n+2}=F2n+2

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