■MAZDA RE(その3)


【1】包絡線の求め方

 パラメータ表示された曲線:x=x(β,θ),y=y(β,θ)が与えられている場合,パラメータβが微小変化するとき,包絡線に接しているある点における接線の傾きは

  dy/dx=(∂y/∂β)/(∂x/∂β)

で,この傾きの曲線に沿ってx方向に∂x/∂β,y方向に∂y/∂β変化します.

 パラメータθが動くときも同様で,

  dy/dx=(∂y/∂θ)/(∂x/∂θ)

したがって,

  (∂y/∂β)/(∂x/∂β)=(∂y/∂θ)/(∂x/∂θ)

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂y/∂β)(∂x/∂θ)=0

が成り立てば接線に沿って動いていくことになります.この点の軌跡が求める包絡線にほかなりません.

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【2】ローター曲線

 ペリトロコイド曲線の運動族

  x=Rcos(β+θ)+acos((n−1)β+θ)+acos((n−2)θ)

  y=Rsin(β+θ)+asin((n−1)β+θ)+asin((n−2)θ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂y/∂β)(∂x/∂θ)=0

を計算すると

∂y/∂β=Rcos(β+θ)+a(n−1)cos((n−1)β+θ)

∂x/∂θ=-Rsin(β+θ)-asin((n−1)β+θ)-a(n−2)sin((n−2)θ)

∂x/∂β=-Rsin(β+θ)-a(n−1)sin((n−1)β+θ)

∂y/∂θ=Rcos(β+θ)+acos((n−1)β+θ)+a(n−2)cos((n−2)θ)

Ra(n-2)sin((n-2)β)+Ra(n-2)sin(β−(n-1)θ)+a^2(n-1)(n-2)sin((n−1)β−(n-1)θ)=0

Rsin(β−(n-1)θ)+a(n-1)sin((n−1)β−(n-1)θ)=-Rsin((n-2)β)

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