円の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0

ですから定幅曲線で，その曲率半径はａ0／２となります．

　ルーローの三角形は定幅曲線ですが，ルーローの三角形の平行曲線もまた定幅曲線です．それではルーローの三角形ではなく，デルトイドの平行曲線は定幅曲線になるでしょうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】デルトイドの平行曲線

　デルトイド

　　ξ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ

　　η＝ａ（２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ）＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）

において，

　　ｄε／ｄθ＝−ａ（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）＝−２ａｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓθ）

　　ｄη／ｄθ＝ａ（２ｃｏｓθ−２ｃｏｓ２θ）＝２ａ（１−ｃｏｓθ）（１＋２ｃｏｓθ）

　　（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝８ａ^2（１−ｃｏｓ３θ）＝８ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2（１−ｃｏｓθ）＝１６ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2ｓｉｎ^2（θ／２）

ですから，平行曲線は

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）

および

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ−ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

のようになります．

　ａ＝１，ｒ＝０．５〜２の範囲で図示すると，６つのカスプをもつ曲線が描かれます．６つの尖点はデルトイドの平行曲線の特異点です．

　ａ＝１，ｒ＝５〜２０の範囲で図示すると，ｒ＝１０では特異点が解消されていることがわかります．これは定幅曲線となるのでしょうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝