■ペリトロコイド曲線(その15)

  x=Rcos(β+γ−θ)+acos((n−1)β−θ)+acos((n−2)θ)

  y=Rsin(β+γ−θ)+asin((n−1)β−θ)+asin((n−2)θ)

に対して

  (∂y/∂β)(∂x/∂θ)−(∂x/∂β)(∂y/∂θ)=0

を計算すると

  θ=β−2/(n−1)arctan(Rsin((n−2)β−γ)/(Rcos((n−2)β−γ)+(n−1)a))

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∂y/∂β=Rcos(β+γ−θ)+a(n−1)cos((n−1)β−θ)

∂x/∂θ=Rsin(β+γ−θ)+asin((n−1)β−θ)-a(n−2)sin((n−2)θ)

∂x/∂β=-Rsin(β+γ−θ)-a(n−1)sin((n−1)β−θ)

∂y/∂θ=-Rcos(β+γ−θ)-acos((n−1)β−θ)+a(n−2)cos((n−2)θ)

Ra(n-2)sin(-(n-2)β+γ)+Ra(n-2)sin(β+γ−(n-1)θ)+a^2(n-1)(n-2)sin((n−1)β−(n-1)θ)=0

Rsin(β+γ−(n-1)θ)+a(n-1)sin((n−1)β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

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Rsin((n−1)β−(n-1)θ-(n-2)β+γ)+a(n-1)sin((n−1)β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

Rsin((n−1)β−(n-1)θ)cos((n-2)β-γ)-Rcos((n−1)β−(n-1)θ)sin((n-2)β-γ)+a(n-1)sin((n−1)β−(n-1)θ)=Rsin((n-2)β-γ)

sin((n−1)β−(n-1)θ){Rcos((n-2)β-γ)+a(n-1)}-cos((n−1)β−(n-1)θ){Rsin((n-2)β-γ)}=Rsin((n-2)β-γ)

A={Rcos((n-2)β-γ)+a(n-1)}

B={Rsin((n-2)β-γ)}

C={Rsin((n-2)β-γ)}=B

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  Asin((n−1)β−(n−1)θ)-Bcos((n−1)β−(n−1)θ)=C

の形に整理されます.

 ここで

  cosψ=A/(A^2+B^2)^(1/2),

  sinψ=B/(A^2+B^2)^(1/2),

  tanψ=B/A

とおくと,

  sin((n−1)β−(n−1)θ-ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)=sinψ

より

  (n−1)β−(n−1)θ-ψ=ψ

  (n−1)θ=(n−1)β−2ψ

  θ=β−2/(n−1)arctan(Rsin((n−2)β−γ)/(Rcos((n−2)β−γ)+(n−1)a))

これで,φをβ,θ(β)の関数として表すことができ,包絡線は1パラメータ曲線:x=x(β),y=y(β)となるというわけです.

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  sin((n−1)β−(n−1)θ-ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)=sinψ

2cos((n−1)β−(n−1)θ)/2sin((n−1)β−(n−1)θ-2ψ)/2=0

とすべきであって、

(n−1)β−(n−1)θ=π/2,3π/2,5π/2、・・・

(n−1)β−(n−1)θ-2ψ=0、π、2π、・・・

これより

  θ=β−2/(n−1)arctan(Rsin((n−2)β−γ)/(Rcos((n−2)β−γ)+(n−1)a)) が得られる。

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