ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

　この曲線を（ｎ−１）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓφ，-ｓｉｎφ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−２）φ

　　［Ｙ］＝［ｓｉｎφ，ｃｏｓφ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−２）φ

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）φ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ＋φ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）φ）

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝