■正多面体と素数(その5)

橋本義武「正多面体と素数」放送大学教育振興会

では正多面体の頂点・辺の中点・面の中心に対応する外接球面上の点を、複素数平面上に立体射影して、

それらを根とする多項式を求めている。

===================================

     V(頂点数)     E(辺数)     F(面数)

正四面体   4        6         4  

立方体    8        12        6

正八面体   6        12        8

正12面体   20       30        12

正20体    12       30        20

===================================

1を引いてみるとすべて素数になっている。

     V(頂点数)-1     E(辺数)-1     F(面数)-1

正四面体   3        5         3  

立方体    7        11        5

正八面体   5        11        7

正12面体   19       29        11

正20体    11       29        19

===================================

1を引いてみるとすべて素数あるいは素数の2乗になっている。

      V+F-1       V+E-1       E+F-1     V+E+F-1

正四面体   7        9         9      13   

立方体    25       19        17     13

正八面体   13       17        19     25

正12面体   61       49        41     31

正20体    31       41        49     61

===================================

これには気づかなかった。単なる偶然だろうか、あるいは、幾何学的なバックグラウンドがあるのだろうか?

===================================

【1】正八面体多項式

[2]面心を∞に立体射影する場合

頂点を根とするモニック多項式において、5は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は5で割り切れる。

面心を根とするモニック多項式の次数7は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は7で割り切れる。

辺心を根とするモニック多項式の11は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は11で割り切れる。

頂点と面心を根とするモニック多項式の次数13は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は13で割り切れる。

辺心と面心を根とするモニック多項式の次数19は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は19で割り切れる。

頂点と辺心を根とするモニック多項式の17は素数であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は17で割り切れる。

頂点と辺心と面心を根とするモニック多項式の次数25は素数5の2乗であり、中間項(最高次・最低次以外の項)の係数は5で割り切れる。

===================================