■フルヴィッツ曲線(その72)

【1】フルヴィッツ曲線の回転

もっと簡単な形にできるかもしれない

逆回転では

-2sin((2n-2)β)-4cos(n-1)β=-4cos(n-1)β{sin(n-1)β+1}

2{sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ}cos(nθ)=2{2sin(n-1)βcosβ+2cosβ}cos(nθ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(nθ)==2{-2sin(n-1)βsinβ-2sinβ}sin(nθ)= 0

-2sin((2n-2)β)-4cos(n-1)β=-4cos(n-1)β{sin(n-1)β+1}

2{sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ}cos(nθ)=4{sin(n-1)β+1}cosβcos(nθ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(nθ)==-4{sin(n-1)β+1}sinβsin(nθ)= 0

C=cos(n-1)β

B=cosβ

A=-sinβ

===================================

順回転では

2sin((2n-2)β)+4cos(n-1)β

2{sin(nβ)+sin(n-2)β+2cosβ}cos(n-2)θ)

2{cos(nβ)-cos(n-2)β-2sinβ}sin(n-2)θ)=0

C=-cos(n-1)β

B=cosβ

A=-sinβ

===================================

Asin(mθ)+Bcos(mθ)=C

の形に整理されました.

 A,B,Cの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが,ここで

  cosψ=B/(A^2+B^2)^(1/2),

  sinψ=A/(A^2+B^2)^(1/2),

  tanψ=A/B

とおくと,

  cos(mθ-ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)

より

  mθ-arctan(A/B)=arccos(C/(A^2+B^2)^(1/2))

 =arctan((A^2+B^2−C^2)/C^2)^(1/2))

===================================

  mθ+β=(n-1)βまたはπ+(n-1)β

===================================

公転と自転の向きを逆方向にとると,フルヴィッツ曲線の運動族は

  x=(n-2)acos(nβ+θ)+nacos((n−2)β−θ)−2Rsin(β+θ)+2acos((n−1)θ)

  y=-(n-2)asin(nβ+θ)+nasin((n−2)β−θ)−2Rcos(β+θ)+2asin((n−1)θ)

m=n

公転と自転の向きを同じ方向にとると,フルヴィッツ曲線の運動族は

  x=(n-2)acos(nβ-θ)+nacos((n−2)β+θ)−2Rsin(β-θ)+2acos((n−1)θ)

  y=-(n-2)asin(nβ-θ)+nasin((n−2)β+θ)−2Rcos(β-θ)+2asin((n−1)θ)

m=n-2

で表される

===================================