■フルヴィッツ曲線(その70)

【1】フルヴィッツ曲線の包絡線

逆回転では

-(2n-2)sin((2n-2)β)-4(n-1)cos(n-1)β

2{(n-1)sin(nβ)+(n-1)sin(n-2)β+2(n-1)cosβ}cos(nθ)

2{(n-1)cos(nβ)-(n-1)cos(n-2)β-2(n-1)sinβ}sin(nθ)=0

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順回転では

(2n-2)sin((2n-2)β)+4(n-1)cos(n-1)β

2{(n-1)sin(nβ)+(n-1)sin(n-2)β+2(n-1)cosβ}cos(n-2)θ)

2{(n-1)cos(nβ)-(n-1)cos(n-2)β-2(n-1)sinβ}sin(n-2)θ)=0

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Asin(mθ)+Bcos(mθ)=C

の形に整理されました.

逆回転ではm=n

順回転ではm=n-2

 A,B,Cの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが,ここで

  cosψ=A/(A^2+B^2)^(1/2),

  sinψ=B/(A^2+B^2)^(1/2),

  tanψ=B/A

とおくと,

  sin(mθ+ψ)=C/(A^2+B^2)^(1/2)

より

  mθ=−arctan(B/A)+arcsin(C/(A^2+B^2)^(1/2))

 =−arctan(B/A)+arctan(C/(A^2+B^2−C^2)^(1/2))

=arctan(BC-A(A^2+B^2−C^2)^(1/2))/(AC+B(A^2+B^2−C^2)^(1/2))

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