周期２πの周期関数は

　　ｆ（ｘ）＝a0/2+Σ（ancosnx+bnsinnx)

　　an=π∫f(t)cosntdt,Tbn=π∫f(t)sinntdt

と表せることが知られている。

その際、

∫ｃｏｓ（ｋｘ）ｄｘ＝０，∫ｓｉｎ（ｋｘ）ｄｘ＝０，

∫ｃｏｓ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）ｄｘ＝０，∫ｃｏｓ2（ｋｘ）ｄｘ＝ｎ／２，

∫Σｓｉｎ（ｉｘ）ｓｉｎ（ｊｘ）＝０，∫ｓｉｎ2（ｋｘ）ｄｘ＝ｎ／２，

∫ｓｉｎ（ｉｘ）ｃｏｓ（ｊｘ）ｄｘ＝０

という公式が重要な役割を果たしている。

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非周期関数のフーリエ展開も有用である。たとえば・・・

［１］ ｆ（ｘ）＝ｘ，[−π，π]

を周期関数と見なした不連続関数のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝２［ｓｉｎｘ／１−ｓｉｎ２ｘ／２＋ｓｉｎ３ｘ／３−・・・］

ｘ＝π／２とおくと，

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋−・・・（グレゴリー・ライプニッツ級数）

また，ｘ＝π／４とおくと

　　π√２／４＝１＋１／３−１／５−１／７＋＋・・・

この式で，符号は２項毎に交代する．

［２］ ｆ（ｘ）＝ｘ^2，[−π，π]

を周期関数と見なした場合のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝π^2／３−４［ｃｏｓｘ／１^2−ｃｏｓ２ｘ／２^2＋ｃｏｓ３ｘ／３^2−・・・］

　x^2/4=π^2/12+Σ(-1)^n/n^2・cosnx

ｘ＝πとおくと，π^2/4=π^2/12+Σ1/n^2・cosnx

つまり，

π^2／６＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・（オイラー級数）

これは，ｆ（ｘ）＝ｘ，[−π，π]にパーセヴァルの等式

∫f(x)^2dx=πa0/2+πΣ(an^2+bn^2)を適用することでも得られる．

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