正三角形をらせん状に並べるとき、隣り合う正三角形の1辺の比はある実数解に限りなく近づいていく。

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【２】パドヴァン数列とプラスチック比

　フィボナッチ数列では正方形をらせん状に並べましたが，ここでは正三角形をらせん状に並べてみましょう．最初の３つの正三角形は１辺の長さを１，次の２つは１辺の長さが２で，そのあとは３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・．このようにしてもおおよそ対数らせんを描きます．

　数列

　　１，１，１，２，２，３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・

は直前の１項を除いたその前の２項を加えたものです．漸化式は

　　Ｐn＝Ｐn-2＋Ｐn-3　　　（Ｐ0＝Ｐ1＝Ｐ2＝１）

で表されます．この各項が２つ前と３つ前の項の和で与えられる数列は，イタリアの建築家パドヴァンにちなんでパドヴァン数列と呼ばれています．

　パドヴァン数列の特性方程式

　　ｘ^3−ｘ−１＝０

の唯一の実数解より，パドヴァン数列の連続する２項の比はプラスチック比

　　ｐ＝１／３｛3√（２７／２−３√６９／２）＋3√（１／２＋√６９／１８）｝＝１．３２４７１８・・・

に次第に近づくことになります．ｐがφよりも小さいことより，パドヴァン数列はフィボナッチ数列に較べてゆっくりと増加することになります．

　　ｐ^5−ｐ^3−ｐ^2＝０

　　ｐ^4−ｐ^2−ｐ^1＝０

より

　　ｐ^5−ｐ^4−ｐ^3−ｐ^1＝ｐ^5−ｐ^4−１

ですから，３次方程式ｐ^3−ｐ−１＝０の解はこの５次方程式も満たすことがわかります．あるいは，因数分解

　　ｐ^5−ｐ^4−１＝（ｐ^3−ｐ−１）（ｐ^2−ｐ＋１）

でもよいのですが，このことから

　　Ｐn＝Ｐn-1＋Ｐn-5

の関係が成り立つこともわかります．

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