ガリレオの問題

重力だけの影響下で、最も速く滑り降りる坂道の形状を求めよ

最速降下線は円弧? (ガリレオ)

最速降下線はサイクロイド (ベルヌーイ)

1696年、ヨハン・ベルヌーイがこの問題を解き、ヨーロッパ中の優れた数学者への挑戦状として「最速降下線」の問題が提起された。

ニュートンは直ちにこれを解き、匿名で解答を送ったが、ベルヌーイはその解法を見てすぐに解答者を知ったという逸話は余りにも有名

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

懸垂線

重力だけの影響下で、垂れ下がる鎖の形状を求めよ

懸垂線は放物線? (ガリレオ)

懸垂線は双曲余弦 (ヤコブ・ベルヌーイ、1691年)

正解は双曲余弦y=a/2・{exp(x/a)+exp(-x/a)}で、これは回転体の表面積が最小となる曲線である。

伸び縮みしないひもの両端を固定しぶら下げてできる曲線を懸垂線（カテナリー）といいます．懸垂線はちょっとみると放物線ではないかと思われがちですが、放物線よりもずっときつく上昇する曲線で、代数曲線ではありません。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

吊り橋の形

自重よりもはるかに重い重力がかかる場合

ゴムひものように伸び縮みする素材で作られたひもをぶら下げたときの形状

解は放物線

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

縄とびの縄の形:

遠心力が重力にくらべ十分大きい場合

変分学の教えるところによると、解は楕円関数で、これは回転体の体積が最大となる曲線である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ピアノ線を曲げた時にできる形（弾性曲線)

弾力のある素材からできていて，ひものように容易に曲がったり，ゴムひものように伸び縮みするわけでもない場合

変分学の教えるところによると、解は楕円関数で、これは回転体の体積が最大となる曲線である。

楕円関数はフェルマー予想: ｘ^n＋ｙ^n=z^nの解決で注目された曲線ですが，弾性曲線や最大容積回転体の変分問題の解を数学的に表現したものになっていて，歴史的にみて，これらの変分問題は楕円関数の研究動機のひとつとなったということができましょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝