■ある不定方程式(その22)

フェルマーやオイラーはx^2+my^2型の場合を研究したが、、その後、ルジャンドルやガウスは

ax^2+bxy+cy^2型の場合を研究した。

一般に、

ax^2+bxy+cy^2=n

がZ^2に解をもつか否かを判定するアルゴリズムが存在する。

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3x^2+6xy-5y^2=4

についてf(1,1)=4であることはすぐにわかるが、

3x^2+6xy-5y^2=7、すなわち

f(x,y)=7となる(x,y)をみつけることはできるだろうか?

f(1,0)=3,f(0,1)=-5,-5,f(1,1)=4

からスタートするトポグラフを描く

トポグラフに現れる数(に平方数をかけても)7、-100をとらないことがわかる。

3x^2+6xy-5y^2=7

3x^2+6xy-5y^2=-100

などは整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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2x^2+xy+4y^2=31

f(1,0)=2,f(0,1)=4,-5,f(1,1)=7

からスタートするトポグラフを描く

2,4,5,7,10,14,16,19,20,25,28,32

2x^2+xy+4y^2=31

は整数の範囲に解をもたないことがわかる。

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