■格子のボロノイ細胞(その128)

 16次元偶ユニモジュラー格子のテータ関数はE8

  Θ(z)=1+480Σσ7(n)q^2n

ただひとつに限られる.ウィットはテータ関数がこれに一致する16次元偶ユニモジュラー格子はE8+E8,D16+の2つしかないことを示した.

[Q]これらが等スペクトル格子であることを示せ.

D16+格子とE8+E8格子は等しい格子ではないが、それらのテータ関数が一致するという意味である。

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D16+のテータ関数は1/2(θ2^16+θ3^16+θ4^16)

E8+E8のテータ関数は(1/2(θ2^8+θ3^8+θ4^8))^2

また,

  θ3^4=θ2^4+θ4^4

が成り立つ.

  θ3^8=θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4

(1/2(θ2^8+θ3^8+θ4^8))^2

=((θ2^8+θ2^4θ4^4+θ4^8))^2

=((θ2^8+θ4^8)^2+θ2^8θ4^8+2θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))

一方,

1/2(θ2^16+θ3^16+θ4^16)

=1/2((θ2^16+θ4^16)+(θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4)^2)

=1/2((θ2^8+θ4^8)^2−2θ2^8θ4^8+(θ2^8+θ4^8+2θ2^4θ4^4)^2)

=1/2((θ2^8+θ4^8)^2−2θ2^8θ4^8+(θ2^8+θ4^8)^2+4θ2^8θ4^8+4θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))

=((θ2^8+θ4^8)^2+θ2^8θ4^8+2θ2^4θ4^4(θ2^8+θ4^8))

両者は一致.

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