■ABCからDEへ(その121)

 221の頂点は(0,0,0,0,0,0;4/√3)から等距離にある

  (0,0,0,0,0,0)

  (±2,0,0,0,0,0;6/√3)とその置換

  (±1,±1,±1,±1,±1;3/√3)とその置換(−は奇数個)

 したがって,半径^2は2^2+4/3=5+1/3=3/16→4/√3

 頂点間距離^2=2^2+2^2=8→2√2

 頂点間距離が2のとき,半径は√8/3

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+1/15+a6^2=8/3

=1+1/3+1/6+1/10+2/5+b6^2

 1+1/3+1/6+1/10=(30+10+5+3)/30=8/5

 R^2=8/5+2/5+b6^2=8/5+1/15+a6^2=8/3

 a6^2=(40−24−1)/15=1

 b6^2=(40−24−6)/15=2/3

===================================

 221の基本単体の頂点は,ρについて

P0(0,0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√10,0,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,1)

σについて

P0(0,0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√10,0,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√10,√(2/5),0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,√(2/5),√(2/3))

===================================

 231の126頂点は

  (2,0,0,0,0,0,0,−2),56置換

  (1,1,1,1,−1,−1,−1,−1),70置換

 ファセット221=E6は56個=|E7|/|E6|

 ファセット230=α6は576個=|E7|/|A6|

 頂点図形は131=hγ6

 各頂点に連結する辺は32本,したがって,231の辺数は126・16=2016

頂点間距離が2のとき、半径が2

===================================

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+2/5+2/3+a7^2=4

=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1+b7^2

 a7^2=b7^2=4/3

===================================

[まとめ]これで231の基本単体が求まったことになる.

 231の基本単体の頂点は,ρについて

P0(0,0,0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√10,0,0,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,0,0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,1,0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,1/√15,1,2/√3)

σについて

P0(0,0,0,0,0,0,0)

P1(1,0,0,0,0,0,0)

P2(1,1/√3,0,0,0,0,0)

P3(1,1/√3,1/√6,0,0,0,0)

P4(1,1/√3,1/√6,1/√10,0,0,0)

P5(1,1/√3,1/√6,1/√10,√(2/5),0,0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,√(2/5),√(2/3),0)

P6(1,1/√3,1/√6,1/√10,√(2/5),√(2/3),,2/√3)

===================================

もうひとつのファセットα6については

 R^2=1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+a7^2=4

 a7^2=12/7

===================================